Jozef Stražan sa narodil 11. mája 1943 v Bratislave. Jeho otec bol známy bábkoherec, ktorý pripravoval revuálne programy pre dospelých po celom území Slovenska, a tak sa rodina často sťahovala. Rodák z Bratislavy, ktorý zdedil nadanie po otcovi, sa presťahoval na východ republiky v roku 1960.
Herectvo na vysokej škole Stražan síce nevyštudoval, ale aj tak patril k najvýraznejším osobnostiam Divadla Jonáša Záborského v Prešove, ktoré bolo od 1. septembra 1960 jeho domovskou scénou. V rokoch 1999 až 2000 vykonával funkciu umeleckého šéfa činohry DJZ.
Herecké skúsenosti získaval v epizódnych a menších postavách. V druhej polovici 60. rokov 20. storočia sa jeho herectvo rozvíjalo v čoraz náročnejších úlohách, ktoré preverili jeho talent. Vystupoval najmä v postavách mladých mužov v hrách z najrôznejších dramaturgických okruhov. Stvárňoval ich s chlapčenským pôvabom, prirodzeným šarmom, ale aj s vnútornou zaangažovanosťou a úprimnosťou. Prevažoval v nich komediálny a veseloherný žáner, ku ktorému inklinoval Stražanov spontánny komediantský herecký naturel. Neskôr vytváral veľké dramatické postavy a stal sa jedným z protagonistov prešovskej činohry.
Na divadelných doskách účinkoval vo viac ako 150 tituloch a stvárnil vyše 50 hlavných úloh. Diváci mohli jeho umenie obdivovať napríklad v hrách Fidlikant na streche (2002), Báthoryčka (2005), Ženba (2008), Smrtiaca pasca (2012), Návšteva starej dámy (2013), Nemá kocúr večne hody (2014), Dílerova voľba (2015), Psie srdce (2016) či Veselé panie z Windsoru (2018).
Jozef Stražan účinkoval aj v košických televíznych inscenáciách a rozhlasových humoristických reláciách. Ako najznámejšiu možno označiť jeho postavu v zábavnom programe Superšopa, ktorý vysielal Slovenský rozhlas štúdio Košice. Jednu z postáv si zahral tiež v oscarovom filme Obchod na korze (1965). V komédii Sebechlebskí hudci (1975) si zahral aj so svojou manželkou – herečkou Kvetou Stražanovou.
Diváci si ho pamätajú tiež z mnohých televíznych filmov a seriálov. Spoločne sa manželská herecká dvojica objavila aj v roku 2016 v televíznom seriáli ZOO.
Jozef Stražan sa prezentoval aj ako režisér, v roku 1993 režijne naštudoval inscenáciu Ťulpas a v roku 1999 muzikál Lysistrata. Je autorom rozhlasového pásma Drevené slzy (1997) o troch generáciách kočujúcich bábkohercov Stražanovcov.
Rodený Bratislavčan Jozef Stražan miloval Prešov, ktorý len veľmi nerád opúšťal. Podľa vlastných slov divadlo bolo pre neho nielen jeho profesiou, ale aj koníčkom a nemenil by za nič na svete.
„Jozef Stražan sa stal neodmysliteľnou súčasťou Divadla Jonáša Záborského v Prešove,“ povedala pre TASR v súvislosti s úmrtím umelca Jana Dzurčaninová z marketingu DJZ a dodala: „Je to pre nás nesmierna a veľmi bolestivá strata.“
