Narodil sa v Prešove. Ako študenta stavebnej priemyslovky ho v roku 1966 režisér Ivan Balaďa obsadil do jednej z hlavných úloh vo filmovej adaptácii diela Tri gaštanové kone. V herectve sa po tejto skúsenosti rozhodol pokračovať a nastúpil na Vysokú školu múzických umení v Bratislave, kde študoval po vedením Jozefa Budského. Štúdium úspešne absolvoval v roku 1973.
Začínal v Divadle na Korze, v rokoch 1971 až 1976 účinkoval v Divadle Nová scéna. V 1976 sa stal členom umeleckého súboru Činohry Slovenského národného divadla, kde pôsobil do roku 1984. Následne odišiel do Nemecka, kde hosťoval v mníchovskom divadle Kammerspiele a v hamburskom Schauspielhause. Objavil sa tiež na doskách divadiel v Bazileji a v Bonne.
V roku 2002 sa Juraj Kukura stal riaditeľom Divadla Aréna.
Hral vo filmoch Zbehovia a pútnici (1968), Deň slnovratu (1973), Koncert pre pozostalých (1976), Člny proti prúdu (1981), Soľ nad zlato (1982) či Sokoliar Tomáš (2000). Svoj hlas prepožičal postave Záviša z animovaného seriálu Miazgovci. Objavil sa aj v seriáloch ako Miesto činu, Hotel Raj či Inšpektor Max.
V roku 1978 obdržal na Medzinárodnom filmovom festivale v Karlových Varoch Cenu za najlepší mužský herecký výkon vo filme Stíny horkého léta. V roku 2004 získal ocenenie Dosky za najlepší mužský herecký výkon. Divadelní noviny mu udelili ocenenie za najlepší herecký výkon sezóny 2014/2015 za hlavnú rolu v inscenácii pražského Činoherního klubu s názvom Bratři Karamazovi. Za túto rolu bol tiež nominovaný na Cenu Thálie a Cenu divadelnej kritiky 2015.
V roku 2017 si od českého prezidenta Miloša Zemana prevzal medailu Za zásluhy 1. stupňa. O dva roky neskôr získal ocenenie Krištáľové krídlo v kategórii divadlo a audiovizuálne umenie.
S manželkou Táňou Kukurovou má syna Filipa, ktorý je profesorom biofyzikálnej chémie na Oxfordskej univerzite a laureátom Nobelovej ceny.
