Kulich sa narodil 31. decembra 1930 vo Zvolenskej Slatine. Rezbárstvu a modelovaniu sa venoval od detstva. Ako šestnásťročný začal študovať na Akadémii výtvarných umení v Prahe v medailérskej špeciálke Otakara Španiela. Tam absolvoval aj umeleckú ašpirantúru. „Sochárčina mi bola darovaná, ako býva darovaná hádam ľudská reč,“ povedal v rozhovore pre časopis Kultúra.
V roku 1954 sa usadil v Bratislave, kde tridsaťpäť rokov pôsobil ako pedagóg. Začiatkom sedemdesiatych rokov sa stal prorektorom Vysokej školy výtvarných umení v Bratislave, od roku 1973 bol jej rektorom až do novembra 1989. Laureát Ceny Klementa Gottwalda, ktorý v roku 1979 získal titul národný umelec, patril k popredným funkcionárom Komunistickej strany Slovenska. V časoch normalizácie patril medzi hlavných normalizátorov slovenskej kultúry a umeleckého života.
Jeho socha Milicionára v Bratislave bola medzi prvými, ktorú po roku 1989 odstránili. Časom upadal do zabudnutia a vo svojom ateliéri sa začal venovať náboženským a kresťanským motívom. Veľký rozruch vyvolala v roku 2010 Kulichova monumentálna socha Svätopluka, ktorú osadili na Bratislavskom hrade. V tom čase sa v hradnom areáli konala aj jeho komorná retrospektíva.
„Ján Kulich – čo je z výstavy zrejmé – je umelcom širokého srdca, vplyvných kamarátšaftov a vskutku ekumenického tematického rozstrelu. Nazvať ho režimistickým sochárom komunizmu by preto bolo trochu nepresné. Lebo Kulich je sochárom všetkých režimov. Radodajka, ktorá úprimne ,dá každému', dokáže uspokojiť zákazku ktoréhokoľvek režimu. Z tohto hľadiska je Kulichovo kariérne gesto v podstate protikladom modernistického umelca. Ten je v zásade nepodkupný, verný svojim témam a výbojný v ich stvárnení, ktoré sa obyčajne opiera o aktuálny vývoj foriem. Kulichovská forma sa naproti tomu už niekoľko desaťročí prakticky nemení. Zamrzla, ,zbronzovatela' v akomsi bezčasí: stále ten istý záhrobný národný realizmus, tá istá slepá ulička formy, tá istá maniera, modelérske grify a štylistické floskuly,“ napísala vtedy pre Pravdu teoretička umenia Petra Hanáková.
Kulich je autorom viacerých monumentálnych sôch, napríklad Pamätníka duklianskych hrdinov na Dukle, Leninovho pamätníka v Žiline, Pamätníka SNP v Bratislave, Matice slovenskej v Martine či Jánošíka v Terchovej. V počiatkoch čerpal hlavne z ľudových motívov, neskôr patril k predstaviteľom realisticko-formalistickej línie v slovenskom sochárstve.
